Le Leggi di Potenza: Perché Alcune Cose Non Sono Normali

Quando osserviamo il mondo che ci circonda, tendiamo a pensare che la maggior parte dei fenomeni segua una distribuzione normale. L'altezza umana, il quoziente intellettivo, le dimensioni delle mele su un albero - tutti questi dati tendono a raggrupparsi attorno a un valore medio. Ma alcune cose nella natura non funzionano così. La natura ci mostra le leggi di potenza ovunque, e questo sembra strano. Come fa la natura a sintonizzarsi sulla criticità?

La Scoperta di Pareto: La Distribuzione dei Redditi

Alla fine del 1800, l'ingegnere italiano Vilfredo Pareto scoprì qualcosa che nessuno aveva mai visto prima. Sospettava che potesse esserci un modello nascosto nel modo in cui le persone guadagnano denaro. Raccogliendo i dati delle imposte sul reddito da Italia, Inghilterra, Francia e altri paesi europei, Pareto tracciò la distribuzione dei redditi per ogni paese.

Ogni paese che esaminò mostrava lo stesso modello, che ancora oggi vale nella maggior parte dei paesi. E non era una distribuzione normale. Se pensiamo a una distribuzione normale come l'altezza, c'è una media chiaramente definita e gli outlier estremi praticamente non si verificano mai. Non troverai mai qualcuno che è, diciamo, cinque volte l'altezza media - sarebbe fisicamente impossibile.

Ma le distribuzioni dei redditi di Pareto erano diverse. Prendiamo la curva per l'Inghilterra. Mostra il numero di persone che guadagnano più di un certo reddito. La curva inizia a declinare bruscamente - la maggior parte delle persone guadagna relativamente poco - ma poi cala gradualmente, molto più lentamente di quanto farebbe una distribuzione normale, e si estende su diversi ordini di grandezza. C'erano persone che guadagnavano cinque volte, dieci volte, persino cento volte più di altre.

Per ridurre questa enorme diffusione di dati, Pareto calcolò i logaritmi di tutti i valori e li tracciò invece. In altre parole, usò un grafico log-log. Quando lo fece, la vasta curva si trasformò in una linea retta. Il gradiente era circa -1.5.

Questo significava che ogni volta che si raddoppia il reddito, diciamo da 200 a 400 sterline, il numero di persone che guadagnano almeno quella quantità diminuisce di un fattore di 2^1.5, circa 2.8. E questo modello si mantiene per ogni raddoppio del reddito. Pareto poteva descrivere la distribuzione dei redditi con una semplice equazione: il numero di persone che guadagnano un reddito maggiore o uguale a x è proporzionale a 1/x^1.5.

Tre Giochi al Casinò: Normalità, Lognormalità e Leggi di Potenza

Per illustrare la differenza tra distribuzioni normali e leggi di potenza, consideriamo tre diversi giochi al casinò.

Gioco 1: Distribuzione Normale

Al tavolo numero uno, hai 100 lanci di una moneta. Ogni volta che esce testa, vinci $1. Quanto saresti disposto a pagare per giocare? Il valore atteso è $50, quindi dovresti pagare meno di $50. Se giochi centinaia di volte, le piccole variazioni si annulleranno e puoi aspettarti di realizzare un profitto.

Questo tipo di problema fu studiato per la prima volta da Abraham de Moivre all'inizio del 1700. Dimostrò che se tracci la probabilità di ogni risultato, ottieni una curva a campana, che in seguito fu chiamata distribuzione normale.

Gioco 2: Distribuzione Lognormale

Al tavolo numero due, hai ancora 100 lanci di moneta, ma questa volta le vincite vengono moltiplicate per un fattore. Inizi con $1. Ogni volta che esce testa, moltiplichi le vincite per 1.1. Se esce croce, moltiplichi per 0.9. Dopo 100 lanci, porti a casa il totale.

Il valore atteso è $1, quindi dovresti pagare meno di un dollaro per giocare. Ma la distribuzione dei pagamenti è asimmetrica. Il lato negativo è limitato a zero - al massimo puoi perdere $1 - ma il lato positivo può continuare a crescere fino a quasi $14.000.

Quando trasformiamo l'asse x da una scala lineare a una scala logaritmica, la curva si trasforma in una distribuzione normale. Per questo viene chiamata distribuzione lognormale. Le distribuzioni lognormali producono grandi disuguaglianze - c'è molto più probabilità di eventi davvero grandi rispetto a quanto ci si aspetterebbe da una distribuzione normale.

Gioco 3: Il Paradosso di San Pietroburgo

Al tavolo tre, inizi con un dollaro e il pagamento raddoppia ogni volta che lanci la moneta. Continui a lanciare finché non esce testa. Se esce testa al primo lancio, ottieni $2. Se esce croce prima e poi testa al secondo lancio, ottieni $4. E così via.

Calcolando il valore atteso, scopriamo che è teoricamente infinito. Questo è noto come il paradosso di San Pietroburgo. La distribuzione dei pagamenti segue una legge di potenza: la probabilità di un pagamento X è uguale a X^-1 o 1/X.

Le Proprietà Strane delle Leggi di Potenza

Le leggi di potenza sono fondamentalmente diverse dalle distribuzioni normali. Con una distribuzione normale, puoi misurare la larghezza attraverso la deviazione standard. Il 95% dei dati rientra entro due deviazioni standard dalla media.

Ma con una legge di potenza come nel paradosso di San Pietroburgo, non c'è una larghezza misurabile. La deviazione standard è infinita. Questo rende le leggi di potenza una bestia fondamentalmente diversa con proprietà molto strane.

Immagina di prendere un gruppo di campioni casuali e poi di mediarli. Scoprirai che la media continua ad aumentare. Non converge. E più misuri, più grande è la media. Sembra impossibile, ma è perché ha una coda così pesante - la probabilità di eventi davvero enormi è così significativa che occasionalmente misurerai uno di questi outlier estremi e loro distorceranno completamente la media.

È come dire che se sei in una stanza con Bill Gates o Elon Musk, la ricchezza media in quella stanza sarà di centinaia di miliardi di dollari perché la media è dominata da un outlier.

Dove Appaiono le Leggi di Potenza nella Natura

Terremoti

Se guardi i dati sui terremoti, scopri che i piccoli terremoti sono molto comuni. Ma i terremoti di magnitudine crescente diventano esponenzialmente più rari. Tuttavia, la distruzione che causano i terremoti non è proporzionale alla loro magnitudine, ma all'energia che rilasciano. E man mano che i terremoti crescono in magnitudine, quell'energia cresce esponenzialmente.

C'è questo decadimento esponenziale nella frequenza dei terremoti di una data magnitudine e un aumento esponenziale nella quantità di energia rilasciata. Quando combini queste due esponenziali per eliminare la magnitudine, ottieni una legge di potenza.

Frattali e Auto-similarità

Le leggi di potenza rivelano anche qualcosa di più profondo sulla struttura sottostante di un sistema. Nel paradosso di San Pietroburgo, puoi disegnare tutti i diversi risultati come un diagramma ad albero dove la lunghezza di ogni ramo è uguale alla sua probabilità. Quando ingrandisci, continui a vedere la stessa struttura ripetersi a scale sempre più piccole. È auto-simile, come un frattale.

Vediamo lo stesso modello frattale nelle vene di una foglia, nelle reti fluviali, nei vasi sanguigni dei nostri polmoni, persino nei fulmini. E in tutti questi casi, possiamo descrivere il modello con una legge di potenza. Le leggi di potenza e i frattali sono intrinsecamente collegati.

Sistemi Critici e Auto-organizzazione

Punto Critico nei Magneti

Le leggi di potenza indicano che stai trattando con un sistema che non ha scala intrinseca. E questa è la firma di un sistema in stato critico. Per vedere questo in azione, consideriamo un magnete.

All'interno di un magnete, ogni atomo ha il proprio momento magnetico. A basse temperature, ottieni grandi regioni chiamate domini dove tutti i momenti sono allineati. Ma se riscaldi il magnete, ogni atomo inizia a vibrare vigorosamente ei momenti si capovolgono su e giù, e l'allineamento può rompersi.

Se hai l'attrezzatura giusta, puoi bilanciare qualsiasi materiale magnetico proprio su quel punto di transizione tra magnetico e non magnetico. Questo è chiamato punto critico e si verifica a una temperatura specifica chiamata temperatura di Curie.

Al punto critico, il pattern diventa molto più interessante. Se ingrandisci, trovi che gli stessi tipi di pattern si ripetono a tutte le scale. Non c'è alcuna scala intrinseca al sistema. È privo di scala, proprio come un frattale. E se tracci la distribuzione delle dimensioni dei domini, ottieni una legge di potenza.

Incendi Forestali e Auto-organizzazione Critica

Nel giugno 1988, un fulmine iniziò un piccolo incendio vicino al Parco Nazionale di Yellowstone. All'inizio si diffuse lentamente, coprendo diverse migliaia di acri. Poi, nei prossimi due mesi, si fuse con altri piccoli incendi per creare un enorme complesso di mega-incendi che bruciò su 1.4 milioni di acri di terreno.

Cosa c'era di così speciale negli incendi del 1988? Per scoprirlo, possiamo usare un simulatore di incendi forestali. Ciò che emerge è un fenomeno chiamato auto-organizzazione critica.

A differenza di un magnete, che deve essere meticolosamente sintonizzato sul punto critico, la foresta si guida naturalmente lì. Il sistema si auto-organizza verso uno stato critico attraverso un meccanismo di feedback: l'incendo elimina tutti gli alberi e non c'è nulla da bruciare, poi deve riempirsi di nuovo. Ma se non c'è stato un incendio, la foresta diventa troppo fitta e è matura per questo tipo di incendio massiccio.

La Sabbia e i Terremoti

Nel 1987, il fisico danese Per Bak e i suoi colleghi considerarono un semplice esperimento mentale: prendi un granello di sabbia e lascialo cadere su una griglia. Continua a lasciare cadere granelli finché la pila di sabbia diventa così ripida che i granelli rotolano su quadrati diversi.

Quello che osservarono fu la dimensione di queste "valanghe" - riorganizzazioni di numeri di granelli di sabbia. Scoprirono che anche questo sistema segue una legge di potenza.

Alcuni hanno ragionato che la crosta terrestre diventa piena di "dita di instabilità" simili, dove si accumulano stress e poi quando una roccia crolla, può propagarsi lungo queste dita, potenzialmente scatenando terremoti massicci.

Implicazioni Pratiche e Insegnamenti

L'Errore della Politica Antincendio

Nel 1935, il Servizio Forestale degli Stati Uniti stabilì la cosiddetta "politica delle 10:00". Il piano era di sopprimere ogni singolo incendio entro le 10:00 del giorno successivo alla sua segnalazione iniziale.

Naivamente, questa strategia ha senso. Se mantieni tutti gli incendi sotto stretto controllo, nessuno può mai sfuggire al controllo. Ma si è scoperto che questa strategia è estremamente rischiosa. Rimuovendo i piccoli incendi che naturalmente puliscono la foresta, si permette l'accumulo di combustibile che porta a mega-incendi catastrofici.

Oggi, il servizio antincendio ha un approccio molto diverso. Riconoscono che alcuni incendi sono essenziali per rendere meno probabili i mega-incendi. Lasciano bruciare la maggior parte dei piccoli incendi e intervengono solo quando necessario.

Prevedibilità e Imprevedibilità

Siamo abituati a pensare di poter usare il passato per predire il futuro. Ma quando si tratta di terremoti o qualsiasi sistema in stato critico, questa assunzione può essere catastrofica perché sono famigeratamente imprevedibili.

Nei sistemi critici, non ci sono eventi speciali che causano gli incendi massicci. Non c'era nulla di speciale nell'incendio di Yellowstone. La causa per ogni incendio è esattamente la stessa: un singolo fulmine. L'unica differenza è dove colpisce e la composizione esatta della foresta in quel momento.

In qualche modo molto reale, gli incendi grandi non sono altro che versioni ingrandite di quelli piccoli. E peggio ancora, sono inevitabili.

Conclusione: Vivere in un Mondo di Leggi di Potenza

Le leggi di potenza ci rivelano che viviamo in un mondo molto più complesso e interconnesso di quanto pensiamo. Molti sistemi naturali - dai terremoti agli incendi forestali, dalla distribuzione dei redditi ai pattern dei fulmini - si auto-organizzano verso stati critici dove piccole cause possono avere effetti enormi e imprevedibili.

Comprendere queste leggi di potenza non è solo un esercizio accademico - ha implicazioni pratiche profonde per come gestiamo le foreste, come ci prepariamo ai disastri naturali, e come pensiamo alla disuguaglianza economica.

La prossima volta che vedi un grafico che segue una linea retta su una scala log-log, ricorda: non stai guardando un'anomalia, ma una firma fondamentale di come il mondo si organizza naturalmente verso la criticità. E in quel stato critico, come diceva un ricercatore nel video, "il sistema è massimamente instabile, ma anche massimamente interessante".